note/ランチェスターの法則 の変更点
BFに関する内容を追加。2007/9/13 by out~
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*ランチェスターの法則~ [#ec6544d3]
ランチェスターの法則をシュミットに当てはめて考えてみる。~
本当にこの法則が成り立つのか？~
この内容を理解するには、高校3年程度の数学（確率問題）が必要と思われます。~
**前提条件 [#v47e9e9d]
A島がa機シュミットをBFに送り込む、B島がb機シュミットをBFに送り込む。（a≧bとする）~
なぜかA,B全てのシュミットは敵のシュミット全てを射程範囲内に捕らえている~
シュミットは全てLV1で、LVアップはしない。つまり、攻撃数1、攻撃範囲0、耐久1である。~
戦闘は1ターンしか行われない。~
（複数ターンの値を求めたい場合は複数回この計算を繰り返せばよい）~
**結論 [#t8d5be77]
A島シュミットの残り：B島シュミットの残り = 1 : -1-(1/a)+(b^2)/(a^2) ≒ 1 : (b^2)/(a^2)~
ランチェスターの法則式より、-1-(1/a)+(b^2)/(a^2)のほうが正確である為オススメする。~
**先行攻撃による考え方 [#c32f8f77]
B島のシュミットX機がA島に対して先行して攻撃すると、A島はX機のシュミットを失う。~
その後、A島は(a-X)機でB島のシュミットを攻撃するので、B島は(a-X)機のシュミットを失う。~
よって、Xを求めると、A,B島の失うシュミットの数を計算できる。~
（ただ、必ずしもA島全てに対して先行しなくとも、A島のあるシュミがB島の別のシュミ（シュミＡ）を攻撃すれば、B島のシュミＢは攻撃できてしまう・・・）~
''先行攻撃の具体例''~
A島のシュミットa=1機、B島のシュミットb=1機~
B島のシュミット1機がA島に対して先行して攻撃すると、A島は1機のシュミットを失う。~
その後、A島は(1-1)=0機でB島のシュミットを攻撃するので、B島は0機のシュミットを失う。~
よって、A島の残りは0機、B島の残りは1機となる。~
**Xを期待値として求める [#b331d257]
期待値の具体例を見てもらえればわかるように、Xは下記のようになる。~
X = ∑(n=1⇒b) [{n×n!×bCn}/{(a+b)Cn}]~
= ∑(n=1⇒b)[n×n!×(a+b)P(b-1)]~
= (a+b)P(b-1)×∑(n=1⇒b)[n×n!]~
（式がもっと簡単にならないか検討中）~
''期待値の具体例1''~
A島3機、B島2機の場合。~
B島1機が先行する確率は、1!×(3C0×2C1)/5C1 = 2/5~
B島2機が先行する確率は、2!×(3C0×2C2)/5C2 = 1/5~
よって期待値X = (2/5)×1 + (1/5)×2 = 4/5~
''期待値の具体例2''~
A島5機、B島4機の場合。~
B島1機が先行する確率は、1!×(5C0×4C1)/9C1 = 4/9~
B島2機が先行する確率は、2!×(5C0×4C2)/9C2 = 1/3~
B島3機が先行する確率は、3!×(5C0×4C3)/9C3 = 2/7~
B島4機が先行する確率は、4!×(5C0×4C4)/9C4 = 1/6~
よって期待値X=(4/9)×1 + (1/3)×2 + (2/7)×3 + (1/6)×4 = 166/63~
**記号の説明 [#ga7dffed]
/ ：分数を表します。(分子)/(分母)となります。~
^ ：乗数を表します。 3^2は3の2乗を意味します。~
C ：順列を表します。5C3=(5×4×3)/(3×2×1)です。~
! ：階上を表します。5!=5×4×3×2×1です。~
P ：順列を表します。5P3=5×4×3です。~
∑ ：和を表します。∑(n=1⇒5)[2×n]=2×1 + 2×2 + 2×3 + 2×4 + 2×5です。~
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以下はメモです~
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【一般化】~
前提~
A島がa機、B島がb機、a>b、それ以外の条件は下記具体例と同じ~
結論~
A：B = 1 : -1-(1/a)+(b^2)/(a^2) ≒ 1 : (b^2)/(a^2)~
展開~
Bが先行して攻撃できるのはb^2/(a+b)機~
Aはa-〔b^2/(a+b)]機でBを攻撃。~
よって1T目で生き残るのは、~
Aはa-[b^2/(a+b)]機、Bはb-a-[b^2/(a+b)] となる~
この比を整理すると、~
A：B = 1 : -1-(1/a)+(b^2)/(a^2)~
となる。~
ここで、-1-1/aの絶対値は b^2/a^2に比べはるかに小さい~
よってA : B = 1 : (b^2)/(a^2) といえる~
また、この結論はランチェスターと同じである~
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【具体例】~
前提：A島はシュミット10，B島はシュミット5，BFに派遣，なぜかA,B全てのシュミットは敵のシュミット全てを射程範囲内に捕らえている~
またシュミットはA,Bともに全てLV1~
結論：A島は8機、B島は0機が生き残る。~
展開~
1vs1の場合~
先行したほうが勝つ。~
2vs1の場合~
2のいずれかが先行する確率は、2/3~
よって、結果が2vs0になる確率は2/3，1vs0になる確率は1/3~
間違っても、1側が残ることはない。~
10vs5の場合~
5が先行して攻撃できる期待値は(5/15)*5 = 5/3~
よって、A島が失うのは5/3機~
10-(5/3) > 5 より~
その後、A島は全てのB島シュミットを消滅させることができる。~
以上より、戦果は以下が期待できる。~
A島の残りは 25/3≒8、B島の残りは0~
蛇足~
ちなみにB島が最高に運が良い場合は、~
A島の残り5機、B島の残り0機 となる~
これは、B側が先行してA島5機を落とし、~
残ったA島5機がB島5機を落とすからである~
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蛇足2 第一法則について考える~
結論 LV1シュミットは残らない~
展開~
LV10シュミット3機vsLV1シュミット3機,全て射程内 の場合~
LV10シュミットの体力は3である~
よって、LV1シュミットが1機残るためには、LV1シュミット3機が全て先行し、~
なおかつ、LV10シュミットのどれか1つに全てのLV1シュミットが攻撃しなければならない~
まず、LV1シュミット3機が全て先行する確率は、~
(3/6)×(2/5）×(1/4） だと思う・・・~
LV10シュミットのどれか1つに集中砲火する確率は~
1×(1/3）×(1/3)~
よって、LV1シュミットが1機残る確率は~
(3/6)×(2/5）×(1/4）×(1/3) = 1/60~
LV1シュミット1機は残らないと考えたほうがよい~
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あっぺ的法則使用~
これらの結果からわかるように、艦隊の種類によっても（ＬＶなどによっても）~
法則の適用は複雑を極めるため、単純に適用すべきではない~
最も重要なのは、相手と自分の編成を見極め、~
どのような考えで計算し、優劣を見極めるかである~
決して、常にランチェスターの法則によれば・・・などと言ってはならない~
