note/ランチェスター考察　by あっぺ のバックアップ(No.6)

式でどうこうするより、簡単なプログラムを作って統計を取ったほうが早い？
そうすれば、耐久2とか攻撃数2のような統計も取ることができそう
将来的には攻撃範囲なども考慮に入れて・・・・（戦艦なども統計が取れるように・・・）

B島のシュミをシュミ1,シュミ2・・・としたとき、
シュミ1,シュミ2が攻撃されて沈んでもシュミ3がA島のシュミを攻撃できる　⇒　必ずしもA島全てのシュミに先行する必要はない
この問題を解決しなければならない

すでに確率の式に∑やCやPなどが入っており、複雑化している。
一般式を求める必要があるのか？
計算の仕方がわかればよいのでは？

考察ありがとうございますm(_ _m
不肖、数学が恐ろしく苦手ですが、期待値程度なら理解できるのでよく分かりました(殴
高3じゃなくても分かるかな…中学受験でもCやPを使わないですが、結果としては同じことをやりますし。。。
階乗の方、階上になっていたので訂正いたしました。　by.揚げ足取りout

ありがとうございます。
今日は、理論式はあきらめて、簡易プログラムを作ってました。
丁寧に理論式を作ろうとすると、計算が複雑になりすぎて使えない気がしています。
こうやって考えると、ランチェスターはなかなかすばらしい式です。
by あっぺ


中3でも理解できました^^意外と興味深い・・・ハマルかも。これからの発展楽しみにしてます^^ たとえば、軍港を考察に入れたり、スカイの命中率をXとしたときの考察etc　byカエル＾＾

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以下はメモです
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【一般化】
前提
　A島がa機、B島がb機、a>b、それ以外の条件は下記具体例と同じ
結論
　A：B = 1 : -1-(1/a)+(b^2)/(a^2) ≒ 1 : (b^2)/(a^2)
展開
　Bが先行して攻撃できるのはb^2/(a+b)機
　Aはa-〔b^2/(a+b)]機でBを攻撃。
　よって1T目で生き残るのは、
　Aはa-[b^2/(a+b)]機、Bはb-a-[b^2/(a+b)]　となる
　この比を整理すると、
　A：B = 1 : -1-(1/a)+(b^2)/(a^2)
　となる。
　ここで、-1-1/aの絶対値は b^2/a^2に比べはるかに小さい
　よってA : B = 1 : (b^2)/(a^2)　といえる
　また、この結論はランチェスターと同じである


【具体例】
前提：A島はシュミット10，B島はシュミット5，BFに派遣，なぜかA,B全てのシュミットは敵のシュミット全てを射程範囲内に捕らえている
　　　またシュミットはA,Bともに全てLV1
結論：A島は8機、B島は0機が生き残る。
展開
1vs1の場合
　先行したほうが勝つ。
2vs1の場合
　2のいずれかが先行する確率は、2/3
　よって、結果が2vs0になる確率は2/3，1vs0になる確率は1/3
　間違っても、1側が残ることはない。
10vs5の場合
　5が先行して攻撃できる期待値は(5/15)*5 = 5/3
　よって、A島が失うのは5/3機
　10-(5/3) > 5　より
　その後、A島は全てのB島シュミットを消滅させることができる。
　以上より、戦果は以下が期待できる。
　A島の残りは 25/3≒8、B島の残りは0
蛇足
　ちなみにB島が最高に運が良い場合は、
　A島の残り5機、B島の残り0機　となる
　これは、B側が先行してA島5機を落とし、
　残ったA島5機がB島5機を落とすからである

蛇足2　第一法則について考える
　結論　LV1シュミットは残らない
　展開
　　LV10シュミット3機vsLV1シュミット3機,全て射程内 の場合
　　LV10シュミットの体力は3である
　　よって、LV1シュミットが1機残るためには、LV1シュミット3機が全て先行し、
　　なおかつ、LV10シュミットのどれか1つに全てのLV1シュミットが攻撃しなければならない
　　まず、LV1シュミット3機が全て先行する確率は、
　　(3/6)×(2/5）×(1/4）　　　だと思う・・・
　　LV10シュミットのどれか1つに集中砲火する確率は
　　1×(1/3）×(1/3)
　　よって、LV1シュミットが1機残る確率は
　　(3/6)×(2/5）×(1/4）×(1/3) = 1/60
　　LV1シュミット1機は残らないと考えたほうがよい

あっぺ的法則使用
これらの結果からわかるように、艦隊の種類によっても（ＬＶなどによっても）
法則の適用は複雑を極めるため、単純に適用すべきではない
最も重要なのは、相手と自分の編成を見極め、
どのような考えで計算し、優劣を見極めるかである
決して、常にランチェスターの法則によれば・・・などと言ってはならない

ランチェスターの法則

　　ランチェスターの法則をシュミットに当てはめて考えてみる。
　　本当にこの法則が成り立つのか？
　　この内容を理解するには、高校3年程度の数学（確率問題）が必要と思われます。

前提条件

　A島がa機シュミットをBFに送り込む、B島がb機シュミットをBFに送り込む。（a≧bとする）
　なぜかA,B全てのシュミットは敵のシュミット全てを射程範囲内に捕らえている
　シュミットは全てLV1で、LVアップはしない。つまり、攻撃数1、攻撃範囲0、耐久1である。
　戦闘は1ターンしか行われない。
　（複数ターンの値を求めたい場合は複数回この計算を繰り返せばよい）

結論 

 調査中です。

先行攻撃による考え方

　B島のシュミットX機がA島に対して先行して攻撃すると、A島はX機のシュミットを失う。
　その後、A島は(a-X)機でB島のシュミットを攻撃するので、B島は(a-X)機のシュミットを失う。
　よって、Xを求めると、A,B島の失うシュミットの数を計算できる。
　（ただ、必ずしもA島全てに対して先行しなくとも、A島のあるシュミがB島の別のシュミ（シュミＡ）を攻撃すれば、B島のシュミＢは攻撃できてしまう・・・）
　　先行攻撃の具体例
　　　A島のシュミットa=1機、B島のシュミットb=1機
　　　B島のシュミット1機がA島に対して先行して攻撃すると、A島は1機のシュミットを失う。
　　　その後、A島は(1-1)=0機でB島のシュミットを攻撃するので、B島は0機のシュミットを失う。
　　　よって、A島の残りは0機、B島の残りは1機となる。

Xを期待値として求める

　期待値の具体例を見てもらえればわかるように、Xは下記のようになる。
　X = ∑(n=1⇒b) [{n×n!×bCn}/{(a+b)Cn}]
　　= ∑(n=1⇒b)[n×n!×(a+b)P(b-1)]
　　= (a+b)P(b-1)×∑(n=1⇒b)[n×n!]
　（式がもっと簡単にならないか検討中）
　　期待値の具体例1
　　　A島3機、B島2機の場合。
　　　B島1機が先行する確率は、1!×(3C0×2C1)/5C1 = 2/5
　　　B島2機が先行する確率は、2!×(3C0×2C2)/5C2 = 1/5
　　　よって期待値X = (2/5)×1 + (1/5)×2 = 4/5
　　期待値の具体例2
　　　A島5機、B島4機の場合。
　　　B島1機が先行する確率は、1!×(5C0×4C1)/9C1 = 4/9
　　　B島2機が先行する確率は、2!×(5C0×4C2)/9C2 = 1/3
　　　B島3機が先行する確率は、3!×(5C0×4C3)/9C3 = 2/7
　　　B島4機が先行する確率は、4!×(5C0×4C4)/9C4 = 1/6
　　　よって期待値X=(4/9)×1 + (1/3)×2 + (2/7)×3 + (1/6)×4 = 166/63

記号の説明

　/　：分数を表します。(分子)/(分母)となります。
　^　：乗数を表します。 3^2は3の2乗を意味します。
　C　：順列を表します。5C3=(5×4×3)/(3×2×1)です。
　!　：階乗を表します。5!=5×4×3×2×1です。
　P　：順列を表します。5P3=5×4×3です。
　∑　：和を表します。∑(n=1⇒5)[2×n]=2×1 + 2×2 + 2×3 + 2×4 + 2×5です。